Question

6．写出下列函数的值域：
（1）y=x+$\frac{1}{x-1}$（x＞1）；
（2）y=2x+$\frac{1}{x-1}$（x＞1）．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式化简y=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1，利用基本不等式求函数的值域；
（2）利用基本不等式化简y=2x+$\frac{1}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2，利用基本不等式求函数的值域．

解答 解：（1）y=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1≥2+1=3，
（当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2时，等号成立），
故函数的值域为[3，+∞）；
（2）y=2x+$\frac{1}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2$\sqrt{2}$+2，
（当且仅当2（x-1）=$\frac{1}{x-1}$，即x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立），
故函数的值域为[2$\sqrt{2}$+2，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的求法及基本不等式的应用．