Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，直线l过点A，l与直线BC₁和CD₁都成75°，这样的直线共有（　　）条．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点D₁，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用特殊三角板求出此角即得直线BC₁和CD₁所成的角的大小．再将异面直线BC₁和CD₁平移到点A，结合图形可知，当使直线在面PAN的射影为∠PAN的角平分线时存在2条满足条件，当直线在面PAN的射影为∠PAM的角平分线时存在2条满足条件，则一共有4条满足条件．
解答：解：如图，将BC₁平移至AD₁处，
∠AD₁C就是所求的角，又△AD₁C为正三角形．
∴∠AD₁C=60°．
即直线BC₁和CD₁成75°角．
过A作直线a∥BC₁，b∥CD₁，将异面直线BC₁和CD₁平移到点A，如图．则∠PAN=60°，∠PAM=120°
而∠PAN的角平分线与a和b的所成角为30°，
而∠PAM的角平分线与a和b的所成角为60°
∵75°＞30°，75°＞60°
∴直线与a，b所成的角相等且等于75°有且只有4条，
使直线在面PAN的射影为∠PAN的角平分线，
和直线在面PAN的射影为∠PAM的角平分线，
故这样的直线共有4条．
故选D．
点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．