Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对x∈R恒成立．
（1）求t的取值范围；
（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证： ≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x+1|+|2﹣x|≥|x+1+2﹣x|=3，所以t≤3
（2）证明：由（1）知T=3，所以a2+b2=3（a＞0，b＞0）

因为a2+b2≥2ab，所以 ，又因为 ，

所以 （当且仅当a=b时取“=”）：

【解析】（1）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求t的取值范围；（2）求出t的最大值为T，化简a2+b2=T，利用基本不等式证明： ≤ ．
【考点精析】掌握不等式的证明是解答本题的根本，需要知道不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．