Question

已知f（x）是定义在R上的函数，给出下列两个命题：
p：若f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），则x₁+x₂=4．
q：若x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂），则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
则使命题“p且q”为真命题的函数f（x）可以是

f（x）=-（x-2）²

．

Answer 1

分析：命题“p且q”为真命题，命题p，q均为真命题．p为真命题说明函数f（x）图象关于直线x=2对称．q为真命题，可以推出f（x）在（-∞，2]上单调递增．可以想到二次函数．

解答：解：命题“p且q”为真命题，命题p，q均为真命题．
p：若f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），则x₁+x₂=4．说明函数f（x）图象关于直线x=2对称．
若x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂），

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，说明当x₁＞x₂时，f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（-∞，2]上单调递增．
根据以上性质，f（x）可以是，f（x）=-（x-2）²
故答案为：f（x）=-（x-2）²．

点评：本题以复合命题真假出发，考查了初等函数的性质．考查转化、数形结合的思想．