Question

【题目】如图，从椭圆 上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1 ， 又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且 ． （Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若M是椭圆上的动点，点N（4，2），求线段MN中点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由题意可知， ，∵AB∥OP，
∴kAB=kOP ，
∴ ，
∵a2=b2+c2 ，
∴a2=2c2 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴椭圆方程为 ．
（Ⅱ） 设Q（x，y），已知点Q为线段MN中点，N（4，2），则M（2x﹣4，2y﹣2），
∵M是椭圆 上的动点，
∴ ，
即 ．
【解析】（Ⅰ） 由题意可知：求得A，B，F1 ， P点坐标，由kAB=kOP ， 根据斜率公式，求得b和c的值，根据椭圆的性质， ，由 ，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ） 由题意可知：根据中点坐标公式，求得M点坐标，将M代入椭圆方程，即可求得Q的轨迹方程．