Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f(x)=

8-16|x- 3 2 |，(1≤x≤2) 1 2 f( x 2 )，(x＞2)

，有下面五个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的值域为[0，8]；
③关于x的方程f（x）=(

1

2

)n-1（n∈N^*）有2n+5个不同的实根；
④当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*）时，f （x）的图象与x轴围成图形的面积为4；
⑤存在实数x₀，使x₀f（x₀）＞12成立．
其中正确命题是

②⑤

．

Answer 1

分析：根据定义在[1，+∞）上的函数f(x)=

8-16|x- 3 2 |，(1≤x≤2) 1 2 f( x 2 )，(x＞2)

，画出函数的图象，即可得到结论．

解答：解：由题意，f（x）=

16x-16，1≤x≤1.5 -16x+32，1.5＜x≤2

，f（x）=

8x-16，2＜x≤3 -8x+32，3＜x≤4

，函数图象如图
∴①函数f（x）不是周期函数，故不正确；
②函数f（x）的值域为[0，8]，故正确；
③n=1时，f（x）=1，显然结论不成立；
④n=1时，图中的三角形的面积为4，n=2时，x∈[2，4]时，图中的三角形的面积为8，故不正确；
⑤令f（x₀）=8，则x₀＞

3

2

，故结论正确
故正确命题为：②⑤

点评：本题考查分段函数，解题的关键是正确作出函数的图象，属于中档题．