Question

如图，抛物线顶点在原点，圆x²+y²=4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点．

（1）求抛物线的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

分析：（1）抛物线顶点在原点，圆x²+y²=4x的圆心是抛物线的焦点，故先求咄圆心，再求抛物线的方程即可；
（2）由图形可以看出|AB|+|CD|等于弦长AD减去圆的直径，圆的直径易得，弦长AD可由抛物线的性质转化为求两端点A，D到抛物线准线的距离的和，由此求出两点横坐标的和，再求弦长AD

解答：解：（1）由圆的方程x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4可知，圆心为F（2，0），
半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F（2，0），
抛物线方程为y²=8x．
（2）|AB|+|CD|=|AD|-|BC|
∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=4，则|AB|+|CD|=|AD|-4．
设A（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在抛物线上，
由已知可知，直线l方程为y=2（x-2），
由

y2=8x y=2(x-2).

消去y，得x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6．∴|AD|=6+4=10，
因此，|AB|+|CD|=10-4=6．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是熟练掌握抛物线的定义与性质，通过这些将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，此转化有一个标志即直线是过焦点的．本题运算量大，极易因为运算出错．