Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点.
（1）求证：DE∥平面PFB；
（2）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.

Answer 1

（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以,                           2分
所以，为平行四边形,              3分
得，                            4分          
又因为平面PFB，且平面PFB,   所以DE∥平面PFB.           5分
（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分

别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.           6分
设PD=a,     可得如下点的坐标：
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)           则有：
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，    7分
设平面PFB的一个法向量为，则可得
  即 
令x=1,得，所以.          8分
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得:
,              
解得a =2.  因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为.

(1)证：DE//BF即可；
（2）可以利用向量法根据二面角P-BF-C的余弦值为,确定高PD的值，即可求出四棱锥的体积.也可利用传统方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角时，要考虑运用三垂线或逆定理.