精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccosA,bcosB,acosC成等差数列.
(Ⅰ)求∠B;
(Ⅱ)若a+c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,b=$\sqrt{3}$,求△ABC的面积.

分析 (Ⅰ)由ccosA,BcosB,acosC成等差数列,可得2bcosB=ccosA+acosC,利用正弦定理、和差公式即可得出;
(II)利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.

解答 解:(Ⅰ)∵ccosA,BcosB,acosC成等差数列,
∴2bcosB=ccosA+acosC,
由正弦定理知:a=2RsinA,c=2RsinC,b=2RsinB,
代入上式得:2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosB=sin(A+C).
又A+C=π-B,∴2sinBcosB=sin(π-B),即2sinBcosB=sinB.
而sinB≠0,∴cosB=$\frac{1}{2}$,及0<B<π,得B=$\frac{π}{3}$.
(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{(a+c)^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
又a+c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,b=$\sqrt{3}$,
∴$\frac{27}{4}$-2ac-3=ac,即ac=$\frac{5}{4}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$.

点评 本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.直线4x-3y+1=0关于直线l:x=2对称的直线的方程为(  )
A.4x-3y-11=0B.4x-3y+17=0C.4x+3y-11=0D.4x+3y-17=0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.若θ为第二象限角,那么sin(cos2θ)•cos(sin2θ)的值为(  )
A.正值B.负值C.D.以上都有可能

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为0的常数,n∈N),且a1,a2,a3成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=$\frac{{a}_{n}-c}{n-{c}^{n}}$,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:Tn<1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.等比数列{an}的前4项和为4,前12项和为28,则它的前8项和是(  )
A.-8B.12C.-8或12D.8

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.已知i是虚数单位,若$\overline{z}$=$\frac{1+i}{1-i}$,则z2016=(  )
A.iB.-iC.1D.-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.已知f(x)=x+ax-1(a>0),
(1)若f(1)=2且f(m)=5,求m2+m-2的值;
(2)求实数a的范围使函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.(1)已知$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=2({x>0\;,\;\;y>0})$,求xy的最小值
(2)已知x、y∈R+,且2x+5y=20,求xy的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4},则满足条件的集合A的个数为(  )
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

同步练习册答案