Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|+a|x﹣1|
（I）当a=1时，解关于x的不等式f（x）≥4
（II）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[ ，2]，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣1|= ，
∵f（x）≥4，
∴ 或 ，
解得x≤﹣ 或x≥2，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣ ]∪[2，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[ ，2]，
∴a|x﹣1|≥3﹣3x对x∈[ ，2]恒成立
当 ≤x＜1时，a（1﹣x）≥3﹣3x，
解得a≥3，
当1≤x≤2时，a（x﹣1）≥3﹣3x，
解得a≥﹣3，
综上：a≥3
【解析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞4的解集．（Ⅱ）f（x）≥|x﹣2|的解集包含[ ，2]，即为a|x﹣1|≥3﹣3x对x∈[ ，2]恒成立，分类解得即可．