Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PC⊥底面ABCD．
（Ⅰ）若PC的中点为E，求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若E是直线PC上的动点，是否恒有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，易证EO为△PAC的中位线，从而OE∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE；
（1）先证BD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，从而得证．

解答： 证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，又E为PC的中点
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（2）∵底面是正方形，
∴BD⊥AC，
又PC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴BD⊥PC，
又AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
而E是直线PC上的动点，
∴AE?平面PAC，
∴BD⊥AE．

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的相关内容．