Question

（2013•济南二模）已知数列{a_n}满足a₁=3，an+1-3an=3n(n∈N*)，数列{b_n}满足bn=

an

3n

．
（1）证明数列{b_n}是等差数列并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由bn=

an

3n

，可得bn+1=

an+1

3n+1

，然后检验b_n+1-b_n是否为常数即可证明，进而可求其通项
（2）由题意可先求a_n，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可求解

解答：解（1）证明：由bn=

an

3n

，得bn+1=

an+1

3n+1

，
∴bn+1-bn=

an+1

3n+1

-

an

3n

=

1

3

---------------------（2分）
所以数列{b_n}是等差数列，首项b₁=1，公差为

1

3

-----------（4分）
∴bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

------------------------（6分）
（2）an=3nbn=(n+2)×3n-1-------------------------（7分）
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=3×1+4×3+…+（n+2）×3^n-1----①
∴3Sn=3×3+4×32+…+(n+2)×3n-------------------②（9分）
①-②得-2Sn=3×1+3+32+…+3n-1-(n+2)×3n
=2+1+3+3²+…+3^n-1-（n+2）×3ⁿ=

3n+3

2

-(n+2)×3n------（11分）
∴Sn=-

3n+3

4

+

(n+2)3n

2

-----------------（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式证明等差数列，及等差数列的通项公式的应用，数列的错位相减求和方法的应用．