Question

14、已知函数f（x）=x³-ax-1．
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）证明f（x）=x³-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），要使f（x）在实数集R上单调递增，只需f′（x）＞0在R上恒成立，即可求出实数a的取值范围；
（2）欲使f（x）在（-1，1）上单调递减，只需f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，利用分离法将a分离出来，求出不等式另一侧的最大值，即可求出a的范围；
（3）只需取例说明，取x=-1时，f（-1）=a-2＜a，从而说明f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-a，3x²-a＞0在R上恒成立，∴a＜0．
又a=0时，f（x）=x³-1在R上单调递增，∴a≤0．
（2）3x²-a＜0在（-1，1）上恒成立，即a＞3x²在（-1，1）上恒成立，即a＞3．
又a=3，f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3（x²-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上单调递减，∴a≥3．
（3）当x=-1时，f（-1）=a-2＜a，因此f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．