Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的一个焦点与抛物线 的焦点相同，F1 ， F2为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为4 ．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的任意一点N（x0 ， y0），从原点O向圆N：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3作两条切线，分别交椭圆于A，B两点．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线 的焦点为（2 ，0），

由题意可得c=2 ，

△MF1F2面积的最大值为4 ，可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值．

即有 b2c=4 ，解得b=2，a2=b2+c2=4+8=12，

则椭圆方程为

（2）

证明：设直线OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），

设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切线方程为y=kx，

则有 = ，整理得（x02﹣3）k2﹣2x0y0k+y02﹣3=0，

即有k1+k2= ，k1k2= ，

又因为 ，所以可求得k1k2= =﹣ ，

将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12，

得x12= ，则y12= ，

同理可得x22= ，y22= ，

所以|OA|2+|OB|2= +

=

= =16．

所以|OA|2+|OB|2的值为定值16

【解析】（1）求得抛物线的焦点，可得c，再由当M位于椭圆短轴端点处△MF1F2面积取得最大值．可得b，由a，b，c的关系求得a，进而得到椭圆方程；（2）设直线OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切线方程为y=kx，运用直线和圆相切的条件：d=r，联立直线OA、OB方程和椭圆方程，求得A，B的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．