Question

已知k＞0，直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx．
（1）证明：到l₁、l₂的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；
（2）求到l₁、l₂的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点P（x，y），依据到l₁、l₂的距离的平方和为定值a得关于x，y的方程，化简即得轨迹方程，再对参数k 进行讨论即可；
（2）设动点P（x，y），依据到l₁、l₂的距离之和为定值c得关于x，y的方程，化简即得轨迹方程，最后依据方程讨论其轨迹．
解答：（1）证明：设点P（x，y）为动点，则+=a，
整理得+=1．
因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；
当k≠1时，动点的轨迹为椭圆．
（2）解：设点P（x，y）为动点，则
|y-kx|+|y+kx|=c．
当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c，即y=c；
当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c，即y=-c；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx-y+y+kx=c，即x=c；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y-kx-y-kx=c，即x=-c．
综上，动点的轨迹为矩形．
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．