Question

某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y（y吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数k＞0）．
（1）写出y与x的函数关系式，并指出定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意求出空闲率，然后利用正比例关系得y与x的函数关系式；
（2）利用配方法求二次函数的最值；
（3）鱼群年增长量达到最大值时，应保证实际养殖量和增加量的和在0到m之间，由此列不等式求解k的取值范围．

解答：解：（1）由题意得空闲率为

m-x

m

，则y=kx•

m-x

m

=kx(1-

x

m

)，0＜x＜m；
（2）∵y=-

k

m

x2+kx=-

k

m

(x-

m

2

)2+

mk

4

，
∴当x=

m

2

时，ymax=

mk

4

；
（3）由题意得：0＜x+y＜m，即0＜

m

2

+

mk

4

＜m，解得-2＜k＜2．
又∵k＞0，∴0＜k＜2．
∴k的取值范围是（0，2）．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用配方法求二次函数的最值，解答的关键是对题意的理解，是中档题．