【题目】已知函数(其中是自然对数的底数, ).
(1)讨论函数的单调性;
(2)当函数有两个零点时,证明: .
【答案】(1) 当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;当时,函数在R上单调递增.(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)对求导,再对进行分类讨论,根据导数与函数的单调性的关系,即可求得函数的单调性;(2)当时,由(1)知函数单调递增,不存在两个零点,故,设函数的两个零点为,代入到,可得,作差后,令结合,求得,欲证,只需证明,构造,求导,根据函数的单调性即可求得,从而证出.
试题解析:(1)解:∵
∴当时,令,即当时, ,
当时, ,即函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
当时, 恒成立,故此时函数在R上单调递增.
(2)证明:当时,由(1)知函数单调递增,不存在两个零点,所以
设函数的两个零点为,则
∴
∴
设
解得,所以
欲证,只需证明
设,则
设,则单调递增
∴
∴在区间上单调递增
∴
∴,故成立.
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【题目】已知函数f(x)=kex﹣x3+2 (k∈R)恰有三个极值点xl,x2,x3,且xl<x2<x3.
(I)求k的取值范围:
(II)求f(x2)的取值范围.
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【题目】我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则下列选项中对于S,S1,S2,S3满足的关系描述正确的为( )
A. S2=S+S+S B.
C. S=S1+S2+S3 D.
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【题目】在平面直角坐标系内,已知点及线段,在线段上任取一点,线段长度的最小值称为“点到线段的距离”,记为.
(1)设点,线段 ,求;
(2)设, , , ,线段,线段,若点满足,求关于的函数解析式,并写出该函数的值域.
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【题目】某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整,结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系;
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元?若有,请说明是上市后的第几天;若没有,请说明理由.
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【题目】某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表(如图所示),解决下列问题.
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2组 | [60,70) | a | ■ |
第3组 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4组 | [80,90) | ■ | 0.08 |
第5组 | [90,100] | 2 | b |
合计 | ■ | ■ |
(1)求出a,b的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
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【题目】如图,点是圆内的一个定点,点是圆上的任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点,当点在圆上运动时,点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)点, ,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求的值.
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【题目】某运输公司接受了向一地区每天至少运送180 t物资的任务,该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的费用为A型卡车320元,B型卡车504元,则公司如何调配车辆,才能使公司所花的费用最低,最低费用为________元.
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