如图,在四棱锥P―ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AD=BC=2,对角线AC⊥BD于O,∠DAO=60°,且PO⊥平面ABCD,直线PA与底面ABCD所成的角为60°,M为PD上的一点。
(Ⅰ)证明:PD⊥AC;
(Ⅱ)求二面角P―AB―C的大小;
(Ⅲ)若DM : MP=k,则当k为何值时直线PB⊥//平面ACM?
解:(I)∵PO⊥平面ABCD
∴DO为DP在平面ABCD内的射影又AC⊥BD
∴AC⊥PD
(Ⅱ)取AB中点N,连结ON,PN
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴△ABD≌△BAC ∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB ∴ON⊥AB.
又∵PO⊥平面ABCD
∴ON为PN在底面ABCD内的射影,∴PN⊥AB
∴∠PNO即为二面角P―AB―C的平面角
在Rt△DOA中,∠DAO=60°,AD=2
∴AO=1,DO=
在Rt△AOB中,
∵PO⊥平面ABCD
∴OA为PA在底面ABCD内的射影
∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角,
∴∠PAO=60°
在Rt△POA中,AO=1 ∴PO=
∴在Rt△PON中,
∴二面角P―AB―C的大小为
方法二:
如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
A(0,-1,0),B(1,0,0) P(0,0, O(0,0,0)
∵PO⊥平面ABCD ∴为平面ABCD的法向量
设为平面PAB的法向量
则
∴二面角P―AB―C的大小为
(Ⅲ)连结MO
当DM:MP=时,直线PB//平面ACM
∵AO=1,BO=AO=1,DO= ∴DO:OB=
又∵DM:MP= ∴在△BDP中,MO//PB
又∵MO平面ACM
∴PB//平面ACM
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