Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（1）过椭圆的左焦点F引椭圆的割线，求截得的弦的中点P的轨迹方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程；
（3）求过点M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）且被M平分的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）求得左焦点的坐标，设出直线y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理即可得到所求；
（2）设出平行线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理可得轨迹方程；
（3）设出弦的端点的坐标，代入椭圆方程，运用点差法和中点坐标公式及直线的斜率公式，即可得到所求直线方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$的左焦点为（-1，0），
设弦所在直线方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程为x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
设弦的中点P（x，y），即有x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，①
y=k（x+1）=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，②
由①②，消去k，可得P的轨迹方程为x²+2y²+x=0，
对k不存在，弦的中点为（-1，0）．上式也成立．
故P的轨迹方程为x²+2y²+x=0；
（2）设斜率为2的平行弦方程为y=2x+t，代入椭圆方程可得，
9t²+8tx+2t²-2=0，
由判别式大于0，可得64t²-36t²（2t²-2）＞0，
解得-3＜t＜3，
由x₁+x₂=-$\frac{8t}{9}$，中点为（-$\frac{4t}{9}$，$\frac{t}{9}$），
即有截得的弦的中点P的轨迹方程为x+4y=0（-$\frac{4}{3}$＜x＜$\frac{4}{3}$）；
（3）设过点M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）且被M平分的弦的端点的坐标为（m，n），（s，t），
即有m²+2n²=2，s²+2t²=2，两式相减可得（m-s）（m+s）+2（n-t）（n+t）=0，
由m+s=1，n+t=1，弦所在直线的斜率为k=$\frac{n-t}{m-s}$=-$\frac{1}{2}$，
则被M平分的弦所在的直线方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），
即为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程，由韦达定理和中点坐标公式及斜率公式，考查化简整理的能力，属于中档题．