Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=abn，数列{c_n}的前n和为S_n，若

S2n+4n

Sn+2n

＞an+t对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）．由题意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，由此能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=3•bn-2=2•3n-2．知S_n=c₁+c₂+…+c_n=2（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n=3ⁿ⁺¹-2n-3．由此能求出常数t的取值范围．

解答：（本题满分14分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）．
由题意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．    …（3分）
∴a_n=3n-2，bn=2•3n-1．              …（7分）
（Ⅱ）cn=3•bn-2=2•3n-2．      …（9分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n=3ⁿ⁺¹-2n-3．…（11分）
∴

S2n+4n

Sn+2n

=

32n+1-3

3n+1-3

=3n+1．                 …（12分）
∴3ⁿ+1＞3n-2+t恒成立，即t＜（3ⁿ-3n+3）_min．
令f（n）=3ⁿ-3n+3，则f（n+1）-f（n）=2•3ⁿ-3＞0，
所以f（n）单调递增．
故t＜f（1）=3，
即常数t的取值范围是（-∞，3）． …（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查常数t的范围的求法，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．