【题目】已知圆,椭圆的短半轴长等于圆的半径,且过右焦点的直线与圆相切于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动直线与圆相切,且与相交于两点,求点到弦的垂直平分线距离的最大值.
【答案】(1)(2)最大值为.
【解析】
(1)由条件知,,求出过右焦点的直线与圆相切于点直线方程,再利用点到直线的距离公式,可得出,从而,即可得椭圆的方程;
(2)设点到弦的垂直平分线的距离为,
①若直线轴,则弦的垂直平分线为轴,所以,若直线轴,则弦的垂直平分线为轴,所以.
②设,的中点坐标为,利用点差法求出,进而得出直线的方程为,再根据直线与圆相切,利用点到直线的距离公式,得出,从而得出弦的垂直平分线方程为,最后再利用点到直线的距离公式,即可求出点到弦的垂直平分线的距离,结合运用基本不等式求出距离的最大值.
解:(1)由条件知,所以,
设椭圆右焦点坐标为,
则过该点与圆相切于点的直线方程为:
,
化简得:,
圆到直线的距离等于半径1,即,
解得:,从而 ,
所以椭圆C的方程为: .
(2)设点到弦的垂直平分线的距离为,
①若直线轴,则弦的垂直平分线为轴,所以,
若直线轴,则弦的垂直平分线为轴,所以.
②设,的中点坐标为,
由点在椭圆上,得
①-②得,,
即,
所以直线的方程为:,
化简得:.
因为直线与圆相切,所以,
化简得:,
又因为弦的垂直平分线方程为:,
即.
所以,点到弦的垂直平分线的距离为:
.
当且仅当时,取等号.
所以点到弦的垂直平分线的距离最大值为.
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【题目】设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;
(2)证明:若数列A中存在使得>,则 ;
(3)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),将C上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍,得曲线C1.以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1的极坐标方程
(2)设M,N为C1上两点,若OM⊥ON,求的值.
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【题目】已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交曲线C于不同于N的两点A,B,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.
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【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 合计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
合计 | 60 | 50 | 110 |
由K2=,
附表:
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,其中为参数,在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;
(2)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,求点M到直线l的距离的最大值.
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【题目】设十人各拿一只水桶,同到水龙头前打水,设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需Ti分钟,假设Ti各不相同,当水龙头只有一个可用时,应如何安排他(她)们的接水次序,使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( )
A. 从Ti中最大的开始,按由大到小的顺序排队
B. 从Ti中最小的开始,按由小到大的顺序排队
C. 从靠近Ti平均数的一个开始,依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D. 任意顺序排队接水的总时间都不变
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【题目】树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查,大量的统计数据表明,参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人,并将这人按年龄分组:第1组,第2组,第3组,第4 组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示
(1) 求的值
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人,再从这人中随机抽取人进行问卷调查,求在第1组已被抽到人的前提下,第3组被抽到人的概率;
(3)若从所有参与调查的人中任意选出人,记关注“生态文明”的人数为,求的分布列与期望.
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【题目】已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.
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