Question

（2011•宁德模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标xoy中，曲线C的参数方程为

x=1+t2 y=2t2+1

（t为参数），若圆P在以该直角坐标系的原点O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ²-4ρcos+3=0
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和圆P的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C上的动点，点B是圆P上的动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由参数方程直接求出曲线C的普通方程和利用极坐标方程直接转化为圆P的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C上的动点，点B是圆P上的动点，求|AB|的最小值可转化为求|PA|的最小值．
求|AB|的最小值．

解答：
解：（Ⅰ）曲线C

x=1+t2 y=2t2+1

，消去参数t后，解得它的直角坐标方程为2x-y-1=0（x≥1），
因为ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，所以ρ²-4ρcosθ+3=0的直角坐标方程为（x-2）²+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）过圆心P作射线2x-y-1=0（x≥1）的垂线，垂足E在该射线的反向延长线上，
当点A在射线的端点时，|PA|=

(2-1)2+(0-1)2

=

2

，
此时|EA|的长最小，故此时|PA|取最小值．
所以所求的最短距离为

2

-1．…（7分）

点评：本题主要考查直线和圆的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．