如图.某观光休闲庄园内有一块扇形花卉园OAB.其中O为扇形所在圆的圆心.扇形半径为500米.cos∠AOB=$\frac{1}{4}$．庄园经营者欲在花卉园内修建一条赏花长廊.分别在边OA.弧$\widehat{AB}$.边OB上选点D.C.E修建赏花长廊CD.CE.且CD∥OB.CE∥OA.设CD长为x米.CE长为y米．(Ⅰ)试求x.y满足的关系式,(Ⅱ)问x.y分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，某观光休闲庄园内有一块扇形花卉园OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，扇形半径为500米，cos∠AOB=$\frac{1}{4}$．庄园经营者欲在花卉园内修建一条赏花长廊，分别在边OA、弧$\widehat{AB}$、边OB上选点D，C，E修建赏花长廊CD，CE，且CD∥OB，CE∥OA，设CD长为x米，CE长为y米．
（Ⅰ）试求x，y满足的关系式；
（Ⅱ）问x，y分别为何值时，才能使得修建赏花长廊CD与CE的总长最大，并说明理由．

分析（Ⅰ）连接OC，设OC=500．则CD=x，OD=CE=y，利用余弦定理，即可求x，y满足的关系式；
（Ⅱ）利用基本不等式，即可得出结论．

解答解：（Ⅰ）由题意知，四边形ODCE是平行四边形．
因为$cos∠AOB=\frac{1}{4}$，所以$cos∠ODC=-\frac{1}{4}$…（1分）
连接OC，设OC=500．则CD=x，OD=CE=y．…（2分）
在△ODC中，由余弦定理得，OC²=OD²+DC²-2OD•DCcos∠ODC…（4分）
则${500^2}={x^2}+{y^2}+\frac{1}{2}xy$，即${x^2}+{y^2}+\frac{1}{2}xy-250000=0$．…（6分）
（Ⅱ）所以${（{x+y}）^2}={500^2}+\frac{3}{2}xy≤{500^2}+\frac{3}{2}{（{\frac{x+y}{2}}）^2}$…（8分）
解得${（{x+y}）^2}≤\frac{8}{5}×{500^2}$，当且仅当$x=y=100\sqrt{10}$时取等号，…（10分）
所以x+y的最大值为$200\sqrt{10}$，此时C为$\widehat{AB}$的中点．…（12分）

点评本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．

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