Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点，实轴长，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．
（2）将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式大于0即可求得k的取值范围，从而解决问题．
（3）由（2）结合根系数的关系利用向量的数量积的坐标公式，建立关于k的不等式，即可k的取值范围．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由已知得a=

3

，c=2，
再由a²+b²=c²，∴b²=1．
∴双曲线方程为

x2

3

-y2=1
（2）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1．
得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由题意知

t-3k2≠0 △=36(1-k2)＞0

即k²≠

1

3

，且k²=1．①
∴k的取值范围为（-1，

3

3

)∪（-

3

3

，

3

3

)∪（

3

3

，1)．
（3）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．
由（2）得x_A+x_B=

6 2 ?k

1-3k2

，x_A•x_B=

-9

1-3k2

．
由

OA

•

OB

＞2，得x_A•x_B+y_A•y_B＞2，
而x_A•x_B+y_A•y_B=x_A•x_B+（kx_A+

2

)（kx_B+

2

)
=（k²+1）x_A•x_B+

2

k（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•

-9

1-3k2

+

2

k•

6 2 ?k

1-3k2

+2=

3k2+7

3k2-1

．
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，
∴

1

3

＜k2＜3．②
由①②得

1

3

＜k2＜1．
故k的取值范围为（-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

点评：本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，考查方程思想．属于直线与圆锥曲线的综合问题．