Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求二面角A-PB-D的大小；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE．若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设AC交BD于O，作OF⊥PB于F，连接AF，则∠OFA是二面角A-PB-D的平面角，可得结论；
（2）当E是PB中点时，PC⊥平面ADE．取PC的中点H，连接EH，DH，可证结论成立．
解答：解：（1）设AC交BD于O，则
∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB
∴∠OFA是二面角A-PB-D的平面角
∵AB⊥PB，PA=，AB=a，PB=a
∴AF==
∴sin∠OFA==
∴∠OFA=60°
∴二面角A-PB-D的平面角是60°；
（2）当E是PB中点时，PC⊥平面ADE．
证明：取PC的中点H，连接EH，DH，则EH∥BC
∴EH∥AD，故平面ADE即平面ADHE
∵AD⊥CD
∴AD⊥PC
∵PC⊥DH，AD∩DH=D
∴PC⊥平面ADHE
∴PC⊥平面ADE．
点评：本题考查面面角，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．