Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，满足a1=1，ak+1﹣ak=ai ． （i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）
（1）求证： ；
（2）若{an}是等比数列，求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn ， 求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ak+1﹣ak=ai＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴数列{an}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜an．

又∵ak+1﹣ak=ai≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴ak+1﹣ak≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．

（2）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；

∵{an}是等比数列，∴数列{an}的公比为2．

∵ak+1﹣ak=ai（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴当i=k时有ak+1=2ak．

这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．

∴ ．

（3）证明：∵1=a1=1，2=a2=2， ， ，…， ，

由上面n个式子相加，得到： ，

化简得 ，

∴ ．

【解析】（1）利用数列的单调性即可证明；（2）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（3）利用“累加求和”与不等式的性质即可得出．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．