Question

只是2问，用空间向量啊！以c为坐标原点哦！
如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C-BM-D的大小为60°，求∠BDC的大小．
（用空间向量解答，以C为坐标原点）

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PQ∥平面BCD．
（2）求出平面BCM的法向量和平面BDM的法向量，由此利用已知条件求出CD=

2

，BC=

6

，由此能求出∠BDC=60°．

解答： （1）证明：以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设D（0，a，0），0＜a＜2

2

，则由已知得C（0，0，0），
B（

8-a2

，0，0），A（0，a，2），M（0，a，1），
P（

8-a2

2

，

a

2

，

1

2

），Q（0，

a

4

，

1

2

），

PQ

=（-

8-a2

2

，-

a

4

，0），
∵平面BCD的法向量

n

=（0，0，1），

PQ

•

n

=0，又PQ?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD．
（2）解：

BM

=（-

8-a2

，a，1），

CM

=（0，a，1），

DM

=（0，0，1），
设平面BCM的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • BM =- 8-a2 x+ay+z=0 n • CM =ay+z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，-a），
设平面BDM的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），
则

m • BM =- 8-a2 x1+ay1+z1=0 m • DM =z1=0

，
取y₁=1，得

m

=（

a

8-a2

，1，0），
∵二面角C-BM-D的大小为60°，
∴cos60°=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

a2+1 • a2 8-a2 +1

|=

1

2

，
由0＜a＜2

2

，解得a=

2

，∴CD=

2

，BC=

6

，
∴∠BDC=60°．

点评：本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．