【题目】已知函数.
若
,求函数
的单调区间;
若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
,对于任意的
,函数
在区间
上总不是单调函数,求m的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为
.(2)
【解析】
(1)f(1)=﹣5,0﹣a﹣3=﹣5,解得a.利用导数研究函数的单调性即可得出.
(2)由f(x)=alnx﹣ax﹣3,可得f′(x)=﹣a.由题意可得:f′(2)=
﹣a=tan45°=1,解得a=﹣2.可得f′(x)=﹣
+2.g(x)=x3+x2
=x3+
x2﹣2x,g′(x)=3x3+(m+4)x﹣2.g′(0)=﹣2.函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
]在区间(t,3)上总不是单调函数,可得
,由题意可知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立.利用单调性即可得出.
(1)∵f(1)=﹣5,0﹣a﹣3=﹣5,解得a=2.
∴f(x)=2lnx﹣2x﹣3.
∴f′(x)=﹣2=
,(x>0).
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)∵f(x)=alnx﹣ax﹣3,∴f′(x)=﹣a.
由题意可得:f′(2)=﹣a=tan45°=1,解得a=﹣2.
∴f(x)=﹣2lnx+2x﹣3.f′(x)=﹣+2.
g(x)=x3+x2[f′(x)+]=x3+x2
=x3+
x2﹣2x,
∴g′(x)=3x3+(m+4)x﹣2.g′(0)=﹣2.
函数g(x)=x3+x2[f′(x)+]在区间(t,3)上总不是单调函数,
∴,由题意可知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立.
∴3t2+(m+4)t﹣2<0,则﹣(m+4)>3t﹣对任意的t∈[1,2]成立.
又3t﹣在t∈[1,2]为增函数,则﹣(m+4)>6﹣1,
∴<m<﹣9.
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【题目】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.
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【题目】时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量(单位:千套)与销售价格
(单位:元/套)满足的关系式
,其中
,
为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求的值;
(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣b)lnx+x2在区间[1,e]上单调递增,则实数b的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣3]
B.(﹣∞,2e]
C.(﹣∞,3]
D.(﹣∞,2e2+2e]
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,△PAB与△ABC是等腰三角形,PA⊥平面ABCD,PA=2,AD=2 ,AC⊥BA,点E是线段AB上靠近点B的一个三等分点,点F、G分别在线段PD,PC上.
(Ⅰ)证明:CD⊥AG;
(Ⅱ)若三棱锥E﹣BCF的体积为 ,求
的值.
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【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(Ⅰ)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
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【题目】抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:
-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( ).
A. B.
C.
D.
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【题目】若存在实常数k和b,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足:F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”,已知函数f(x)=x2(x∈R),g(x)= (x<0),h(x)=2elnx,有下列命题:
①F(x)=f(x)﹣g(x)在 内单调递增;
②f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且b的最小值为﹣4;
③f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且k的取值范围是(﹣4,0];
④f(x)和h(x)之间存在唯一的“隔离直线”y=2 x﹣e.
其中真命题的个数为(请填所有正确命题的序号)
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