Question

7．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-A₁C-D₁的余弦值为$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（1）求证：BD⊥A₁C₁
（2）在线段CC₁上是否存在点P，使得平面A₁CD₁⊥平面PBD，若存在，求出$\frac{CP}{{P{C_1}}}$的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出BD⊥AA₁，BD⊥AC，从而得到BD⊥平面A₁AC，由此能证明BD⊥A₁C．
（2）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出当$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$时，平面A₁CD₁⊥平面PBD．

解答 （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD，且ABCD为正方形．…（1分）
∵BD?平面ABCD，∴BD⊥AA₁，BD⊥AC．…（2分）
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面A₁AC．…（3分）
∵A₁C?平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C．…（4分）
（2）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．设AB=2，AA₁=4
则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），
C₁（0，2，4），D₁（0，0，4），…（6分）
设P（x₂，y₂，z₂）为线段CC₁上一点，且$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{P{C}_{1}}$，0≤λ≤1．
∵$\overrightarrow{CP}$=（x₂，y₂-2，z₂），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（-x₂，2-y₂，4-z₂）．
∴（x₂，y₂-2，z₂）=λ（-x₂，2-y₂，4-z₂）．…（10分）
即x₂=0，y₂=2，z₂=$\frac{4λ}{1+λ}$，
∴P（0，2，$\frac{4λ}{1+λ}$）．…（11分）
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₃，y₃，z₃）．
∵$\overrightarrow{DP}$=（0，2，$\frac{4λ}{1+λ}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{3}+\frac{4λ{z}_{3}}{1+λ}=0}\\{2{x}_{3}+2{y}_{3}=0}\end{array}\right.$．…（12分）
令y₃=1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-$\frac{1+λ}{2λ}$）．…（13分）
若平面A₁CD₁⊥平面PBD，则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0．
即2-$\frac{1+λ}{2λ}$=0，解得$λ=\frac{1}{3}$．
所以当$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$时，平面A₁CD₁⊥平面PBD．…（14分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．