Question

6．设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*）
（I）若a₃=$\frac{5}{2}$，求实数a的值；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$（n∈N^*）．若a=1，求证$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a₂a-a²=1，解得${a}_{2}=\frac{{a}^{2}+1}{a}$，由a₃=$\frac{5}{2}$，得$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=2，由此能求出实数a的值．
（Ⅱ）由已知得${b}_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}{\sqrt{n+1}}$，由${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$$≥2\sqrt{{a}_{n}•\frac{1}{{a}_{n}}}$=2，能证明${b}_{n+1}≥\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$=b₂，再用数学归纳法证明b_n＜$\frac{3}{2}$，n≥2．由此能证明$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

解答 （Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*），
∴a₂a-a²=1，解得${a}_{2}=\frac{{a}^{2}+1}{a}$，
∵a₃=$\frac{5}{2}$，∴$\frac{5}{2}•\frac{{a}^{2}+1}{a}-（\frac{{a}^{2}+1}{a}）^{2}=1$，
解得$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=2，
由$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$解得a∈∅，由$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=2，解得a=1．
∴实数a的值为1．
（Ⅱ）证明：当a=1时，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}={a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${a}_{2}=1+\frac{1}{1}$=2，${a}_{3}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，${a}_{4}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}$=$\frac{24}{10}$，…
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$（n∈N^*），
∴${b}_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}{\sqrt{n+1}}$，
∵a_n＞0，∴${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$$≥2\sqrt{{a}_{n}•\frac{1}{{a}_{n}}}$=2，当且仅当${a}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}$，即a_n=1=a₁时，取等号，
∴${b}_{n+1}≥\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$=b₂，
再证b_n＜$\frac{3}{2}$，n≥2．
（a）n=2时，${b}_{2}=\sqrt{2}$，满足$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$．
（b）假设当n=k，（k＞2）时有b_k＜$\frac{3}{2}$，等价于$\frac{{a}_{k}}{\sqrt{k}}＜\frac{3}{2}\sqrt{k}$，
∵$\frac{{a}_{k}}{\sqrt{k}}≥\sqrt{2}$，∴$\sqrt{2}k＜{a}_{k}＜\frac{3\sqrt{k}}{2}$，
当n=k+1时，${b}_{k+1}=\frac{{a}_{k+1}}{\sqrt{k+1}}$＜$\frac{f（\frac{3}{2}\sqrt{k}）}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}}{\sqrt{k+1}}$，
∴只需证$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}}{\sqrt{k+1}}$＜$\frac{3}{2}$．
证明如下：∵k＞2，∴k＞$\frac{16}{9}$，
∴9k＞16，∴25k＞16（k+1），∴5$\sqrt{k}$＞4$\sqrt{k+1}$，
∴$\frac{5}{2}\sqrt{k}$＞2$\sqrt{k+1}$，∴$\frac{5}{6}\sqrt{k}＞\frac{2}{3}\sqrt{k+1}$，
∴$\frac{3}{2}\sqrt{k}＞\frac{2}{3}（\sqrt{k+1}+\sqrt{k}）$，
∴$\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}＜\frac{1}{\frac{2}{3}（\sqrt{k+1}+\sqrt{k}）}$，∴$\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}＜\frac{3}{2}（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$，
∴$\frac{3}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}＜\frac{3}{2}\sqrt{k+1}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}}{\sqrt{k+1}}＜\frac{3}{2}$，
∴n=k+1时，${b}_{k+1}＜\frac{3}{2}$成立．
综合（a），（b）知b_n＜$\frac{3}{2}$．
综上所述：$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

点评 本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，综合性强、难度大，解题时要认真审题，注意均值定理、数学归纳法、数列知识的合理运用．