Question

关于函数f（x）=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R），有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；
③函数f（x）的最小值是lg2；
④当-1＜x＜0或x＞1时，f（x）为增函数；
⑤f（x）无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是

 

Answer 1

分析：①判断函数是否为偶函数即可．
②将复合函数转化为两个基本函数，令t=x+

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．
③因为t=x+

1

x

≥2（x＞0），再由偶函数，可知正确．
④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=x+

1

x

是增函数，再根据复合函数判断．
⑤用③来判断．

解答：解：①定义域为R，又满足f（-x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确．
②令t=x+

1

x

（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．
③t=x+

1

x

≥2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．
④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=x+

1

x

是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．
⑤由③知，不正确．
故答案为：①③④

点评：本题通过多个问题来考查函数复合函数的研究方法，涉及了函数的奇偶性，单调性，最值等，知识点，方法灵活，要细心耐心．