Question

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点( -2 ， -

2

 )的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．

Answer 1

分析：（1）求椭圆的方程关键是计算a²与b²的值，由焦点F（2，0）且经过点( -2 ， -

2

 )的椭圆的标准方程，构造方程组，解方程组即可求出a²与b²的值，代入即可得到椭圆的标准方程．
（2）本题的解答要用到“设而不求”的思想，即设出直线与椭圆两交点的坐标，然后将直线方程代入椭圆的方程，利用韦达定理找出点横、纵坐标和与积的关系，代入验证．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
所以a²=b²+4，即椭圆的方程为

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，
又点（-2，-

2

）在椭圆上，所以

4

b2+4

+

2

b2

=1，
解得b²=4或b²=-2（舍），
由此得a²=8，即椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．、
（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则有

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，
解得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，△＞0，所以m²＜b²+a²k²，即-

b2+a2k2

＜m＜

b2+a2k2

．
则x1+x2=-

2a2km

b2+a2k2

，y1+y2=kx1+m+kx2+m=

2b2m

b2+a2k2

，
所以AB中点M的坐标为(-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

)．
所以线段AB的中点M在过原点的直线b²x+a²ky=0上．

点评：运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，
考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
也可根据条件构造方程（组）解方程（组）给出a²与b²的值，代入即可得到椭圆的标准方程．