Question

15．直线l：y=2x+3，A（3，4）、B（11，0），在l上找一点P，使点P到A、B距离之差最大，求出P点坐标及最大值．

Answer 1

分析 当P点在直线l与过点A，B的直线的交叉点处时，它到A、B两点的距离之差最大为AB，求出过点A（3，4），B（11，0）的直线方程，与直线l：y=2x+3联立方程组，能求出P点坐标及最大值．

解答 解：∵三角形两边之和必大于第三边，反之两边之差必小于第三边，
若PAB为三角形，则pA与pB之差必小于AB；
若P、A、B在一条直线上（P点不在线段AB内），则PA与PB之差为AB，
故当P点在直线l与过点A，B的直线的交叉点处时，
它到A、B两点的距离之差最大为AB，
过点A（3，4），B（11，0）的直线方程为：$\frac{y}{x-11}=\frac{4}{3-11}$，
整理，得：x+2y-11=0，
与直线L：y=2x+3联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-11=0}\\{y=2x+3}\end{array}\right.$，解得x=1，y=5，
故P点坐标为P（1，5），
∴使点P到A、B距离之差最大，P点坐标为（1，5），
点P到A、B距离之差最大值：|AB|=$\sqrt{（3-11）^{2}+（4-0）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查使点P到A、B距离之差最大的P点坐标及最大值的求法，解题时要认真审题，注意直线方程与两点间距离公式的合理运用，是中档题．