Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（2）当0＜x＜y＜e²且x≠e时，试比较与的大小．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-．
∵函数在x=处取得极值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移项（1-b）x＞lnx-1，将b分离得出，b＜1-，令g（x）=1-，
则令g′（x）=，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²处取得极小值，也就是最小值．此时g（e²）=1-，
所以b≤1-．
（1）由（1）g（x）=1-在（0，e²）上为减函数．0＜x＜y＜e²且x≠e时，
有g（x）＞g（y），1-＞1-，整理得＞①
当0＜x＜e时，1-lnx＞0，由①得，＞
当e＜x＜e²时，1-lnx＜0，由①得＜．
分析：（1）函数f（x）的导数f′（x）=a-．通过在x=1处取得极值，得出a=1；将f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，将b分离得出，b＜1-，令g（x）=1-，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．
（2）由（1）g（x）=1-在（0，e²）上为减函数，g（x）＞g（y），1-＞1-，整理得＞，考虑将1-lnx除到右边，为此分1-lnx正负分类求解．
点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小，考查了分类讨论、推理计算能力．