Question

设A₁，A₂，A₃，A₄是平面直角坐标系中两两不同的四点，若

A1A3

=λ

A1A2

（λ∈R），

A1A4

=μ

A1A2

（μ∈R），且

1

λ

+

1

μ

=2，则称A₃，A₄调和分割A₁，A₂，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（　　）

• A、C可能是线段AB的中点
• B、D可能是线段AB的中点
• C、C，D可能同时在线段AB上
• D、C，D不可能同时在线段AB的延长线上

Answer 1

分析：由题意可得到c和d的关系，

1

c

+

1

d

=2，只需结合答案考查方程

1

c

+

1

d

=2的解的问题即可．
A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．

解答：解：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），
所以λ=c，μ=d，代入

1

λ

+

1

μ

=2得

1

c

+

1

d

=2（1）
若C是线段AB的中点，则c=

1

2

，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中，A错误；同理B错误；
若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．
故选D

点评：本题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．