Question

对于△ABC，有如下命题：
①一定有a=bcosC+ccosB成立．
②若cos2A=cos2B，则△ABC一定为等腰三角形；
③若△ABC的面积为

3

，BC=2，C=60°，则此三角形是正三角形；
则其中正确命题的序号是

①②③

．（把所有正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：△ABC中，利用诱导公式得sinA=sin（B+C），展开后利用正弦定理即可证出a=bcosC+ccosB成立，故①正确；
利用二倍角的余弦公式，由cos2A=cos2B证出cos²A=cos²B，可得A=B，从而得到△ABC是以a、b为腰的等腰三角形，故②正确；对于③，利用三角形的面积公式和余弦定理解三角形算出AB=AC=2，即得△ABC是正三角形．因此三个命题都是真命题．

解答：解：对于①，△ABC中sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosAsinC
结合正弦定理得a=bcosC+ccosB成立，故①正确；
对于②，若cos2A=cos2B，则2cos²A-1=2cos²B-1
所以cos²A=cos²B，结合A、B为三角形的内角可得A=B
则△ABC是以a、b为腰的等腰三角形，故②正确；
对于③，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosC=4，
∴结合C=60°得AB²+AC²-AB•AC=4
又∵△ABC的面积为

3

，∴

1

2

AB•ACsin60°=

3

，得AB•AC=4
因此AB²+AC²=8，联解可得AB=AC=2，即得△ABC是正三角形；
综上所述，三个命题都是真命题
故答案为：①②③

点评：本题给出三角形满足的条件，判断三个命题的真假．着重考查了正余弦定理解三角形、三角恒等变换和三角形的面积公式等知识，属于中档题．