已知函数的最大值为0,其中。
(1)求的值;
(2)若对任意,有成立,求实数的最大值;
(3)证明:
(1) ;(2);(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据函数的特征可对函数求导,由导数等于零,可求出函数的零点,利用导数与函数单调性的关系:导数大于零,函数在对应区间上单调增,导数小于零,函数在对应区间上单调减,就可用表示出函数的最大值进而求出;(2)先定性分析的范围,发现当时,易得,即可得出矛盾,进而只有小于零,对函数求导后得出导数为零的,再根据与零的大小关系,可发现要以为界进行讨论,又由结合函数的单调性不难得出只有时不等式 恒成立; (3)当时,不等式显然成立; 当时,首先结合(1)中所求函数得出求和的表达式,这样与所要证不等式较近了,再结合(2)中所证不等式,取的最大值,即,两式相结合,最后用放缩法可证得所要证明不等式.
试题解析:(1) 定义域为
,由=0,得 . 1分
当变化时,,变化情况如下
(-a,1-a)
|
1-a |
(1-a,+∞) |
|
+ |
0 |
- |
|
增 |
极大值 |
减 |
因此,在 处取得最大值,故 ,所以 . 3分
(2)当时,取有,故不合题意;当时,令,令,得,①时,中恒成立,因此在单调递增,从而对任意的,总有,即在恒成立.故符合题意; ②当时,对于,故在内单调递减,因此取,即不成立,故不合题意,综上,的最大值为.
(3)当 时,不等式左边右边,不等式成立.
当时,
10分
在(2)中取
∴
=
.
综上, 12分
考点:1.导数在函数中的运用;2.数列求和;3.不等式的证明
科目:高中数学 来源:2009-2010学年辽宁省抚顺一中高一(下)3月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省莱芜市高三4月自主检测文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知函数的最大值为4,最小值为0,两个对称轴间的最短距离为,直线是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市徐汇区高三第一学期学习能力诊断卷理科数学 题型:选择题
已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式可以是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
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