Question

设函数y=f（x），（x∈R^*）对于任意实数x₁、x₂∈R^*，都满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0且f（4）=1
（1）求证：f（1）=0
（2）求f(

1

16

)的值
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

Answer 1

分析：（1）因为函数f（x）满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），可以利用赋值法，令x₁=x₂=1，化简就可得到f（1）=0．
（1）函数f（x）满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=4，就可求出f（16）的值，再令x₁=x₂=

1

16

，就可求出
f(

1

16

)的值．
（3）先用定义法证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，再利用函数f（x）满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），把不等式f（x）+f（x-3）≤1变形为f（x（x-3））≤f（4），就可利用函数的单调性解不等式．

解答：解；（1）证明：∵函数f（x）满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）函数f（x）满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=4，就可求出f（16）的值，得f（16）=f（4）+f（4）=1+1=2
再令x₁=x₂=

1

16

，得，f(1)=f(16×

1

16

)=f(16)+f(

1

16

)
∴f(

1

16

)=-2
（3）先证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性
设0＜x1＜x2，则

x2

x1

＞1有f(

x2

x1

)＞0，而f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)
所以有f（x₁）＜f（x₂），从而函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，而不等式  f（x）+f（x-3）≤1等价于

f[x(x-3)]≤f(4) x＞0 x-3＞0

也即是 

x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0

解得x∈（3，4]

点评：本题主要考查了赋值法求抽象函数的函数值，判断抽象函数的单调性，以及应用单调性解不等式．