Question

已知函数f（x）=x³-3ax+2，其中a＞0
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求a的范围，使得方程x³-3ax+2=0有①唯一实根   ②三个不相等的根．

Answer 1

分析：（1）求导，令导数等于零，解方程，根据导数的符号与函数单调性的关系即可求出f（x）的单调区间与极值；
（2）方程x³-3ax+2=0有①唯一实根，只要极大值小于零或极小值大于零即可，解此不等式即可求得结果；方程x³-3ax+2=0有②三个不相等的根，只要极大值大于零且极小值小于零即可，解此不等式组即可求得结果．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3a，由f′（x）=0得x=±

a

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+

∴f（x）的递增区间（-∞，-

a

），（

a

，+∞）递减区间为（-

a

，

a

），
f_极大值=f（-

a

）=2a

a

+2，f_极小值=f（

a

）=-2a

a

+2；
（2）①要使方程有唯一实根，应有2a

a

+2＜0或-2a

a

+2＞0
解得0＜a＜1 即当a∈（0，1）方程有唯一的实根
②当方程有三个不相等的根时应有-2a

a

+2＜0＜2a

a

+2，
解得a＞1，即当a∈（1，+∞）时方程有三个不相等的实根．

点评：本小题主要考查函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运算能力和综合应用数学知识的能力，属中档题．