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17.已知集合A={3,32,33,…,3n}(n≥3),从中选出3个不同的数,使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列,记满足此条件的等比数列的个数为f(n)
(Ⅰ)f(5)=8;
(Ⅱ)若f(n)=220,则n=22.

分析 (I)n=5时,A═{3,32,33,34,35},从中选出3个不同的数,使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列,则共有3,32,33;32,33,34;33,34,35;3,33,35.其顺序反过来也成立.可得f(5).
(II)A={3,32,33,…,3n}(n≥3),公比为3的共有:n-2个;公比为13的共有:n-2个.公比为32的共有:n-4个;公比为132的共有:n-4个.…,则f(n)=220=2[(n-2)+(n-4)+…2],即可得出.

解答 解:(I)n=5时,A═{3,32,33,34,35},从中选出3个不同的数,使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列,则共有3,32,33;32,33,34;33,34,35;3,33,35.其顺序反过来也成立.因此f(5)=8.
(II)A={3,32,33,…,3n}(n≥3),
公比为3的共有:n-2个;公比为13的共有:n-2个.
公比为32的共有:n-4个;公比为132的共有:n-4个.
…,
则f(n)=220=2[(n-2)+(n-4)+…2],
n2+2×n222×2=220,n2-2n-440=0,
解得n=22.
故答案为:8,22.

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.

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