Question

8．设命题p：实数x满足|x-1|＞a其中a＞0；命题q：实数x满足${3^{{x^2}-x-6}}$＜1
（1）若命题p中a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，得出命题p：x＞2，或x＜0，命题q：-2＜x＜3，而由p∧q为真得到p，q都为真，从而解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞2，或x＜0}\\{-2＜x＜3}\end{array}\right.$即得实数x的取值范围；
（2）先求出命题￢p：x＜1-a，或x＞1+a，a＞0，从而由￢p是q的必要不充分条件得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+1≥3}\\{1-a≤-2}\end{array}\right.$，解该不等式组即得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，p：x＞2或x＜0，q：-2＜x＜3；
又p∧q真，∴p，q都为真；
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞2或x＜0}\\{-2＜x＜3}\end{array}}\right.$得-2＜x＜0或2＜x＜3；
∴实数x取值范围为（-2，0）∪（2，3）；
（2）p：|x-1|＞a，∴x＜1-a或x＞1+a，a＞0，￢p：1-a≤x≤1+a，a＞0；
∵￢p是q的必要不充分条件；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+1≥3}\\{1-a≤-2}\end{array}\right.$；
∴a≥3；
∴实数a的取值范围为[3，+∞）．

点评 考查含绝对值不等式的解法，根据指数函数的单调性解不等式，一元二次不等式的解法，以及由命题p能写出命题￢p，必要不充分条件的概念．