Question

【题目】已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x﹣2，数列{an}前n项和为Sn ， 点（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，Tn是数列{bn}的前n项和，求当 对所有n∈N*都成立m取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，f（x）=3x2﹣2x，

∵点（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的图象上，

∴Sn=f（n）=3n2﹣2n，

当n≥2时，Sn﹣1=3（n﹣1）2﹣2（n﹣1），

两式相减得：an=6n﹣5（n≥2），

又∵a1=S1=3﹣2=1满足上式，

∴数列{an}的通项公式an=6n﹣5

（2）解：由（1）可知 = = （ ﹣ ），

∴数列{bn}的前n项和Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）= ，

∵Tn= （1﹣ ）随着n的增大而增大，

∴Tn≥T1= = ，

又∵ 对所有n∈N*都成立，

∴ ≥ ，解得：m≤

【解析】（1）通过图象特征及导函数可知f（x）=3x2﹣2x，并代入点（n，Sn）（n∈N*）整理可知Sn=3n2﹣2n，进而与Sn﹣1=3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）（n≥2）作差，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知bn= （ ﹣ ），进而并项相加可知Tn= ，通过Tn= （1﹣ ）随着n的增大而增大可知 ≥ ，进而计算可得结论．
【考点精析】利用二次函数的性质和基本求导法则对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．