Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=3，AB=2，D是A₁B₁的中点，E在线段CC₁上且C₁E=2．
（1）证明：DC⊥面ABE；
（2）求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）以O为坐标原点OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知中ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=3，C₁E=2，我们分别求出向量

DC

，

AB

，

AE

的坐标，根据

DC

•

AB

=0

DC

•

AE

=0，得到DC⊥AB、DC⊥AE，进而由线面垂直的判定定理得到答案．
（2）分别求出平面ABE与平面ADE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角D-AE-B的余弦值，进而得到二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（1）证明：已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，取AC中点O、A₁C₁中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，
以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．
∵AB=2，AA₁=3，C₁E=2
∴A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，E（0，1，1），C（0，1，0），D(

3

2

，-

1

2

，3)
∴

DC

=(-

3

2

，

3

2

，-3)，

AB

=(

3

，1，0)，

AE

=(0，2，1)
∴

DC

•

AB

=0，

DC

•

AE

=0
于是，有DC⊥AB、DC⊥AE．
又因AB与AE相交，故DC⊥面ABE．（6分）
（2）由（1）得

DC

=(-

3

2

，

3

2

，-3)为平面ABE的一个法向量
设

m

=（x，y，z）为平面ADE的一个法向量
则

m • AE =0 m • AD =0

，
即

2y+z=0 3 2 x+ 1 2 y+3z=0

令y=1，则

m

=（

11 3

3

，1，-2）
令二面角D-AE-B的平面角为θ
则cosθ=

34

68

∴二面角D-AE-B的大小θ=arccos

34

68

（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将直线与平面的垂直问题，二面角问题，转化为空间向量夹角问题是解答本题的关键．