Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
①求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成锐二面角的大小；
②求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

Answer 1

【答案】分析：①利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，所以∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角；
②求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离，直接作出距离解三角形即可．
解答：解：①作A₁D⊥AC，垂足为D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC
作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．
所以∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC=2，AC=2
所以DE=1，AD=A₁D=，∴tan∠A₁ED==．
故∠A₁ED=60°为所求．
②由点C作平面A₁ABB₁的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A₁ABB₁的距离．
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A₁ED=60°
所以CH=BCsin60°=为所求．
点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．