Question

若抛物线y²=4x的焦点是F，准线是l，点M（4，m）是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆一共有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、4个

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线方程求出M，再由抛物线的定义，可知圆心在抛物线上，又圆心在线段FM的垂直平分线上，则圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，即可得到结论．

解答： 解：因为点M（4，m）在抛物线y²=4x上，
所以可求得m=±4．
由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上．
又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，
即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，
结合图形易知对于点M（4，4）和（4，-4），都各有两个交点．
因此一共有4个满足条件的圆．
故选D．

点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查圆的定义及运用，考查判断能力，属于中档题和易错题．