Question

5．已知函数f（x）=x²+x，正项数列{a_n}前n项和为S_n，且点（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）点（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的图象上，可得2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵点（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的图象上．
∴2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，
∴当n=1时，2a₁=${a}_{1}^{2}+{a}_{1}$，又a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，2S_n-1=${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，
相减可得：2a_n=${a}_{n}^{2}$+a_n-（${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$），
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴a_n+a_n-1＞0，
可得a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn，
∴当n=2k（k∈N^*）时，{b_n}前n项和A_n=A_2k=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]
=1+1+…+1=k=$\frac{n}{2}$．
当n=2k-1时，{b_n}前n项和A_n=${A}_{2k-2}+（-1）^{2k-1}（2k-1）$=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$，当n=1时也成立．
综上可得：A_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}，n=2k}\\{-\frac{n+1}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．