Question

2．二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，当a=1，2，3…n时，其抛物线在x轴上截得的线段长度依次为d₁，d₂，d₃…dn，则$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=1．

Answer 1

分析 当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，利用|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，结合方程的根与系数关系可求d_n，然后利用裂项求和方法即可求解．

解答 解：当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，
根据题意可得：x₁+x₂=$\frac{2n+1}{n（n+1）}$，x₁x₂=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴d₁+d₂+…+d_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=1，
故答案为：1．

点评 本题考查函数的二次函数的性质的运算，裂项求和公式的合理运用是求解的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．