Question

自然数1，2，3，…，n按一定的顺序排成一个数列a₁，a₂，…，a_n，若满足|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|≤4，则称数列a₁，a₂，…，a_n是一个“优数列”，当n=6时，“优数列”共有（　　）

A．24

B．23

C．18

D．16

Answer 1

分析：利用新定义，先确定优数列的和只能取0、2、4，再分类讨论，即可得到结论．

解答：解：由题意，|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-6|≤4，通过分析可知，当1到6分别对应a₁至a₆时和，取得最小值0．
任意改变其中两个数a_i=i、a_j=j的位置，则有|a_i-j|+|a_j-i|=2|i-j|
表明一旦改变，和的变化必然是以2为单位，不可能有1、3、5…这样的和出现，
所以，优数列的和只能取0、2、4．
①当和为0时，只有上面提到的1种情况；
②当和为2时，只能是改变相邻位置的两个数而得，否则和2|i-j|必然大于2，共有5种情况；
③当和为4时，需要分类讨论：
  1°．改变的是相隔1个数的两个数的情况，也就是i-1和i+1互换位置，有4种情况；
  2°．改变的是三个数轮换的情况，只能是i-1，i，i+1轮换位置，有8种情况
综合上述，优数列共有1+5+4+8=18种情况  
故选C

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．