Question

关于函数y=log2(x2-2x+3)有以下4个结论：其中正确结论的序号是

②③④

．
①定义域（-∞，-3）∪（1，+∞）；
②递增区间[1，+∞）；
③最小值1；
④图象恒在x轴的上方．

Answer 1

分析：设t=x²-2x+3，则函数等价为y=log₂t，利用二次函数和对数函数的图象和性质分别进行判断．

解答：解：设t=x²-2x+3，则函数等价为y=log₂t．
①要使函数有意义，则t=x²-2x+3＞0，
∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，
∴t=x²-2x+3＞0恒成立，
即函数的定义域为R，∴①错误．
②∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴t=x²-2x+3在[1，+∞）上单调递增，则（-∞，1]上单调递减，
∵y=log₂t 在定义域上单调递增，
∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，函数y=log2(x2-2x+3)在[1，+∞）上单调递增，
∴②正确．
③∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，y=log₂t 在定义域上单调递增，
∴y=log₂t≥log₂2=1，
即函数的最小值为1，∴③正确．
④由③知y≥1且y=log₂t 在定义域上单调递增，
∴图象恒在x轴的上方，∴④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查对数函数和二次函数的图象和性质，利用换元法结合复合函数的之间的关系是解决本题的关键．