Question

14．已知0≤α≤π，0≤β≤$\frac{π}{4}$，且α+β=$\frac{2π}{3}$，求y=$\frac{1-cos（π-2α）}{cot\frac{α}{2}-tan\frac{α}{2}}$-cos²（$\frac{π}{4}$-β）的最大值，并求出相应的α、β的值．

Answer 1

分析 由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得y=-$\frac{1}{2}$sin（α-β）-$\frac{1}{2}$，由已知可得-$\frac{π}{4}$≤α-β≤π，利用正弦函数的图象和性质可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α-β）≤1，即可得解．

解答 解：∵α+β=$\frac{2π}{3}$，
∴y=$\frac{1-cos（π-2α）}{cot\frac{α}{2}-tan\frac{α}{2}}$-cos²（$\frac{π}{4}$-β）=$\frac{1+cos2α}{\frac{co{s}^{2}\frac{α}{2}-si{n}^{2}\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}}$-$\frac{1+cos（\frac{π}{2}-2β）}{2}$=$\frac{1+cos2α}{\frac{cosα}{\frac{1}{2}sinα}}$-$\frac{1}{2}$-sin2β=$\frac{（1+cos2α）sinα}{2cosα}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2β
=$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2β=$\frac{1}{2}$（sin2α-sin2β）-$\frac{1}{2}$=cos（α+β）sin（α-β）-$\frac{1}{2}$
=-$\frac{1}{2}$sin（α-β）-$\frac{1}{2}$，
∵0≤α≤π，0≤β≤$\frac{π}{4}$，∴-$\frac{π}{4}$≤α-β≤π，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α-β）≤1，
∴y=-$\frac{1}{2}$sin（α-β）-$\frac{1}{2}$∈[-1，$\frac{\sqrt{2}-2}{4}$]，
∴当α=0，β=$\frac{π}{4}$时，y=$\frac{1-cos（π-2α）}{cot\frac{α}{2}-tan\frac{α}{2}}$-cos²（$\frac{π}{4}$-β）的最大值为：$\frac{\sqrt{2}-2}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．